为什么要建立空集和其他集合之间的关系？

　　(感谢刚刚 @时空千玉 的回答中指出的“空集不是任意集合的子集”是推论而不是公理…下面描述中我的表达错误，各位自动忽略 谢谢hhh)

　　题主在预习高一内容时看到书上“空集是任何集合的子集”这一规定，产生疑问。在题主的理解里，空集内是没有元素的，那既然它什么东西也没有，为什么会这样命题，而不是说“空集不是任意集合的子集”呢？在知乎上看了一小圈后，题主发现大家都解释可以归纳为:

　　假设有集合A，B和空集，B中所有元素都是A的元素，所以B包含于A；反之可以理解为B中没有不满足A(的条件)的元素，所以B是A的子集。那么以反面解释的定义来看，空集也满足此条件:空集中没有不满足A的元素，所以空集是A的子集。

　　题主看完后接受这个证法，但同时也觉得这样证得一个结论，这个结论显得真的没有意义，就像在阐述一个…(umm该怎么描述呢)很无聊的人尽皆知的东西一样(?可能描述不当orz 所以由此抛出一个疑问:能否从意义的角度解释这个公理?

　　然后就是本题title上的那个问题了大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。

　　题主本人思维方式中，认为能把问题具象化，比如几何化的话，会更好理解其意义些，于是设想了函数y＝x²＋1的图像和x轴，两者没有交点，可以说由x²＝1实根组成的集合是空集，那么这样理解的话，空集的部分是图像中的哪里呢？再假设有集合C{y丨y＝x²＋1，x＞4}，它的图像就是抛物线x＞4的部分。那么空集包含于C，这样在图像上…怎么表示呢？…题主想象不到……(sure，很有可能是题主思考问题方式过于单一…欢迎各位指正赐教)

　　所以由此题主在想:为什么要建立空集和其他集合之间的关系？题主想不明白这样做的意义，当然这很有可能因为题主对空集的意义认识不够深刻…

　　希望各位能指点一下，尤其是加粗字部分，非常感谢！

　　题主能在预习高一内容能够提出这个问题，首先应该给予一个肯定。这涉及到数学研究，说明题主对数学的结构是有所思考的，下面我来说一下我的理解，就是为什么要引入空集？

　　第一个，从类比与具体化的角度，空集之于集合论就像0之于自然数集。空集不含任何元素，是集合中的一个特殊的存在。就好像以前人们很难接受0的概念一样，空集不含任何元素，它是任何集合的子集，为什么要引入呢？我们看看0在自然数中的地位，0可以表示没有东西，那么相应的来说，空集就是不含任何元素。在进行数学研究，或者说进行中学阶段的题目解决的时候，无解要怎么表示？答案就是用空集大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!。空集可以用来表示无解，就像0可以表示没有东西。（为了数学的严谨性，这里注释一下，集合与自然数集是有联系的，上述解释是为了好理解）

　　第二个可以从运算的角度（在此我尽量不使用术语）。我们知道集合中有并 与交 的运算，任何集合并上空集是它本身，任何集合交空集是空集。在并 的运算中，空集相当于一个“零元”的角色，就像任何实数加0都等于那个实数。在交 的运算中，空集也相当于一个“零元”的角色，就像任何实数乘以0都等于0。至于为什么说“零元”的概念很重要，题主可以参考代数学方面的书，这对数学结构会有更深入的理解，当然这对高考用处不大，但可以当作扩展知识。

　　第三个，是从数学公理的角度。如果题主听过公理系统，那么就知道数学可以从几条基本公理延伸出现在的数学体系。在公理化集合论中，有一条无穷公理，描述了归纳集的存在。其中就用到了空集，将其作为最基础的定义。

　　可见，空集是非常重要的概念，没有了空集，集合论中会少了很多的色彩。这里只列举了三条，空集的作用还有很多，就不再阐述了。

　　注释一下，空集是任何集合的子集是一条推论，并不作为公理使用，要注意区分公理与推论。

　　至于几何化的想法，很显然最直观的想法就是“什么都没有”，就是空集，也就是上面所说的无解。

　　如果题主学有余力，对数学结构感兴趣，可以参考数学分析与代数学的书。当然，因为这对高考帮助不大，我并不推荐在中学阶段就进行深入系统的学习（大神除外）。

　　可供学习的书：菲赫金哥尔茨《微积分学教程》，柯斯特利金《代数学引论》，卓里奇《数学分析》（再次说明不推荐中学阶段研读，仅作了解）

　　如有错误，欢迎指正！

　　其实这也就只是一个结论了，并没有什么重大的意义，只是为了让读者理解包含关系的一个例子。集合论真正吸引人的地方在于它具有非常强大的表现力，所有数学对象都可以表示成集合，就像函数可以表示成图像的集合。之后，借助形式化的集合论公理就可以研究数学对象了。因为数学形式主义的要求是推理严密，不能有任何依赖“感觉”的推理，所以必须承认一些基础的公理并在公理的基础上推理出需要的结论，虽然承认哪些公理是个人的自由，但是承认集合论是一个很好的选择，于是曾经成为了数学界的主流。

　　另外题主倒数第三段中说空集属于C，这是错的，空集包含于C，但是不属于C。

　　子集的定义是这样的：

　　若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

　　那么显然空集是任何集合的子集。这就是一个很平凡的推论而已。

　　至于所以由此题主在想:为什么要建立空集和其他集合之间的关系？题主想不明白这样做的意义，当然这很有可能因为题主对空集的意义认识不够深刻…

　　建立空集与子集的定义之后，它们的关系就是自然而然的结论。建立的不是关系，而是这些定义。至于为什么要定义空集呢？我觉得有了集合的概念后，空集（没有元素的集合）也是很自然的概念。比如集合的运算，正数与负数的交集是空集。倘若没有空集，这里就会很麻烦。数学很多概念就是为了方便而定义的。

　　高中，特别是学到集合后，就要有抽象思维与形式思维。

　　A∩B包含于A，简单明了。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　如果非得说，如果A∩B非空时，A∩B包含于A，那很多问题讨论起来就繁琐多了。